Formy różniczkowe można też różniczkować. Pochodną zewnętrzną formy definiujemy jako
gdzie oznacza odwzorowanie styczne funkcji . W definicji korzystamy z pewnej mapy, ale pochodna zewnętrzna nie zależy od wyboru mapy.
Głównym twierdzeniem rachunku form różniczkowych jest Ogólne twierdzenie Stokes'a: Jeżeli jest zwartą, zorientowaną, -wymiarową rozmaitością różniczkową z brzegiem , to dla -formy na
Rozmaitości gładkie Przestrzeń styczna
Jeżeli w definicji rozmaitości różniczkowej przyjemy to otrzymaną rozmaitość nazwiemy rozmaitością gładką. Rozmaitości gładkie różnią się od pozostałych rozmaitości tym, że w ich przypadku przestrzeń styczną można zdefiniować w sposób algebraiczny.
Niech będzie rozmaitością gładką. Funkcjonałem różniczkowym na algebrze nazwiemy funkcjonał liniowy taki, że dla każdych
Przestrzenią styczną do w punkcie nazywamy przestrzeń liniową funkcjonałów różniczkowych na . Oznaczmy ją . Zdefiniujmy wzorem . Funkcja dana wzorem
jest naturalnym izomorfizmem (tzn. izomorfizmem niezależnym od wyboru bazy).
Definicja "algebraiczna" jest bardziej abstrakcyjna i mniej intuicyjna, ale często wygodna w użyciu. Pola wektorowe