Poprzez zdefiniowanie form różniczkowych i całki z formy możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego i całkowego na rozmaitościach.
Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w szczególnej i ogólnej teorii względności czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. tensor metryczny).
Definicja Mapą na przestrzeni topologicznej w otoczeniu punktu nazwiemy parę , gdzie zawiera , a jest homeomorfizmem. Zbiór nazywamy dziedziną mapy , funkcję nazywamy układem współrzędnych w otoczeniu punktu , funkcję do niej odwrotną nazywa się parametryzacją w otoczeniu punktu , a funkcje , gdzie są rzutowaniami na -tą współrzędną względem bazy standardowej :
nazywamy współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę . Zbiór map, których dziedziny pokrywają całe nazywamy atlasem na .