Przestrzeń Hausdorffa na której istnieje -wymiarowy atlas nazywamy -wymiarową rozmaitością topologiczną.
Atlas na nazwiemy klasy jeżeli dla dowolnych dwóch map takich, że odwzorowania zamiany współrzędnych i są klasy .
Mapę na nazwiemy -zgodną z atlasem na jeżeli dla każdej mapy takiej, że odwzorowania zamiany współrzędnych są klasy .
Mając dany atlas klasy na możemy dołączyć do niego wszystkie mapy -zgodne z nim. W ten sposób otrzymamy maksymalny atlas . Parę: rozmaitość topologiczną wraz z maksymalnym atlasem klasy nazywamy rozmaitością różniczkową klasy .
Funkcje różniczkowalne pomiędzy rozmaitościami Niech będą rozmaitościami różniczkowymi klasy i niech . Powiemy, że funkcja jest różniczkowalna klasy () w punkcie jeżeli dla pewnej mapy w otoczeniu punktu i dla pewnej mapy w otoczeniu punktu funkcja jest różniczkowalna, klasy w punkcie .
W definicji korzystamy z pewnych map, ale definicja nie zależy od wyboru map, gdyż dla innych map w otoczeniu odpowiednio i mamy
Ponieważ odwzorowania zamiany współrzędnych i są klasy , to i są tej samej klasy gładkości.
Funkcję pomiędzy rozmaitościami nazywamy różniczkowalną klasy jeżeli jest różniczkowalna klasy w każdym punkcie swojej dziedziny.
Przestrzeń styczna