Dwie różne i równoważne konstrukcje przedstawione są w następnej sekcji.
Konstrukcja Podejście analityczne Liczby rzeczywiste można zdefiniować jako klasy abstrakcji ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych, co umożliwia, na przykład, napisanie Definicja ciągu Cauchy’ego zależy od wyboru metryki, zatem jeżeli wybierzemy inną metrykę, możemy otrzymać liczby różne od rzeczywistych. Metrykę, której użycie prowadzi do liczb rzeczywistych, nazywa się euklidesową.
Dla ustalonej liczby pierwszej definiujemy -adyczną wartość bezwzględną na w następujący sposób: dla liczby wymiernej różnej od zera istnieje dokładnie jedna liczba całkowita taka, że
gdzie żadna z liczb nie dzieli się przez Określamy oraz Z taką wartością bezwzględną duże potęgi stają się „małe”. Twierdzenie Ostrowskiego orzeka, że każda z wartości bezwzględnych na jest równoważna z euklidesową, trywialną lub pewną -adyczną dla ustalonej liczby
Z -adyczną wartością bezwzględną można związać metrykę na zadaną wzorem Ciało stanowi uzupełnienie ciała liczb wymiernych względem tej metryki.