Można dla nich również zdefiniować działania arytmetyczne i w pewnym sensie one także stanowią rozszerzenie algebry liczb naturalnych. Liczby kardynalne i porządkowe są definiowane wyłącznie przez konstrukcję.
Zbiory liczbowe tworzące algebrę są zawsze definiowane razem z podstawowymi działaniami na nich – dodawaniem i mnożeniemBezpośrednio lub przez zdefiniowanie działania następnika, z którego wynika dodawanie i mnożenie.. Dopiero określenie zbioru wraz z działaniami, czyli tzw. struktury algebraicznej, stanowi dostateczną definicję. Nie wystarcza tu skonstruowanie samego zbioru, gdyż określając odpowiednio działania, można sprawić, że np. zbiór liczb wymiernych będzie nieodróżnialny (izomorficzny) od zbioru liczb naturalnychWystarczy przypisać każdej liczbie wymiernej inną liczbę naturalną, np. tak:
– zakładając, że jest ułamkiem skróconym, tzn. liczby i nie jaką wspólnych dodatnich dzielników oprócz jedynki, a następnie zdefiniować następnik liczby wymiernej jako:
Zbiór liczb wymiernych spełnia wówczas aksjomaty Peana liczb naturalnych..