Aksjomatyka Peana Na początek załóżmy, że istnieje liczba 1 (cokolwiek by ten symbol miał oznaczać). Chcielibyśmy także dla każdej liczby móc pokazać jej tzw. następnik (oznaczymy go ). Musimy zatem zagwarantować istnienie następnika liczby 1 (który oznaczymy 2), a także następników kolejnych następników. Następnik liczby 2 oznaczymy 3 itd. Jeśli dodatkowo założymy, że 1 nie jest następnikiem żadnej liczby i odpowiednio zdefiniujemy dodawanie i mnożenie, to tak skonstruowany zbiór możemy nazwać zbiorem liczb naturalnych.
Proces konstrukcji kolejnych elementów zbioru wygląda następująco:
Ściślej rzecz biorąc, zbiór liczb naturalnych jest definiowany przez aksjomaty PeanaAksjomatyka ta została wprowadzona przez Giuseppe Peana w wydanej po łacinie pracy Arithmetices principia, nova methodo exposita (Podstawy arytmetyki, zaprezentowane w nowy sposób) w roku 1889. W oryginalnej pracy Peano wprowadził więcej aksjomatów – oprócz wymienionych pięciu były dodatkowo podane cztery aksjomaty opisujące równość dwóch liczb naturalnych.