mały|Drzewo liczb nadrzeczywistych Liczby nadrzeczywiste (ang. surreal numbers) – klasa obiektów, spełniająca aksjomaty ciała, która zawiera w sobie zarówno liczby rzeczywiste, hiperrzeczywiste, jak i porządkowe. Tak jak liczby hiperrzeczywiste klasa ta zawiera również wielkości nieskończone oraz nieskończenie małe (infinitezymalne). Klasa liczb nadrzeczywistych oryginalnie została oznaczona No, jednak ze względu na podobieństwo do oznaczenia liczb naturalnych z zerem poniżej użyty został symbol
Aksjomatyka liczb nadrzeczywistych Trójka jest systemem liczb nadrzeczywistych, jeśli: jest porządkiem liniowym w (tzw. funkcja urodzinowa) jest funkcją określoną w o wartościach będących liczbami porządkowymi. Niech i będą podzbiorami takimi że Wówczas istnieje takie że:
i jeśli liczba porządkowa jest większa od każdego dla to
Funkcja urodzinowa reprezentuje w pewnym sensie kolejne generacje liczb nadrzeczywistych.
Konstrukcja liczb nadrzeczywistych Ich konstrukcja oparta jest na uogólnieniu idei przekrojów Dedekinda, zastosowanej przy konstrukcji liczb rzeczywistych.
Klasa liczb nadrzeczywistych wraz z porządkiem liniowym i funkcją urodzinową jest tworzona etapami, metodą indukcji pozaskończonej.