Podobnie definiuje się operacje elementarne na kolumnach danej macierzy.

Macierze prostokątne Układy równań liniowych

Układ równań liniowych o zmiennych postaci

można zapisać w postaci równania macierzowego

dla danych macierzy nazywanej macierzą główną układu, oraz Macierz klatkową postaci nazywa się macierzą uzupełnioną lub rozszerzoną układu.

W celu uzyskania rozwiązania układy równań liniowych przekształca się za pomocą operacji elementarnych, które zachowują zbiór rozwiązań układu; odpowiadają im operacje elementarne na wierszach macierzy, których przykładanie można postrzegać jako mnożenie lewostronne macierzy uzupełnionych układu przez macierze elementarne (mnożenie prawostronne odpowiada operacjom elementarnym na kolumnach macierzy).

Przekształcenia liniowe