Element nilpotentny lub nilpotent pierścienia – element pierścienia o tej własności, że dla pewnej liczby naturalnej zachodzi:
W każdym pierścieniu 0 (element neutralny dodawania) jest elementem nilpotentnym.
Własności Twierdzenie. Niezerowy element nilpotentny jest dzielnikiem zera.
Dowód. Niech będzie niezerowym elementem nilpotentnym pierścienia Oznacza to, że dla pewnego zachodzi Ponieważ, z założenia, element jest niezerowy, to Oznacza to, że
co dowodzi tezy.
Twierdzenie. Suma dwóch elementów nilpotentnych, które są ze sobą przemienne, jest także elementem nilpotentnym.
Dowód. Niech będzie pierścieniem przemiennym, a dwoma elementami nilpotentnymi. Oznaczmy przez liczby takie, że i Ponieważ, z założenia, elementy i są ze sobą przemienne, to możemy zastosować wzór Newtona dla wyrażenia otrzymując
Dla zachodzi czyli i składniki odpowiadające tym indeksom są zerami. Pozostałe składniki odpowiadają czyli w tym przypadku Oznacza to, że wszystkie składniki w powyższej sumie są zerami, a więc i cała suma jest zerem. Element jest więc elementem nilpotentnym.
Wniosek. W pierścieniu przemiennym suma dowolnych dwóch elementów nilpotentnych jest elementem nilpotentnym.
Twierdzenie. W pierścieniu przemiennym z jedynką suma elementu nilpotentnego i elementu odwracalnego jest elementem odwracalnym.