Dowód. Niech będzie nilpotentem Wówczas Jeśli elementem odwracalnym (z twierdzenia) jest jedynka, to teza wynika z tożsamości:
Dla dowolnego odwracalnego zachodzi:
Ponieważ jest nilpotentem z założenia o odwracalności i z pierwszej części dowodu wynika teza
Przykłady W przypadku liczb rzeczywistych wiemy, że potęga naturalna dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej jest także niezerowa. Oznacza to, że jedynym elementem nilpotentnym jest zero. To samo rozumowanie prowadzi do analogicznego wniosku dla liczb całkowitych, wymiernych i zespolonych. Wynik ten można uogólnić. Zauważmy, że każdy niezerowy element nilpotentny jest dzielnikiem zera, a więc jeśli pierścień nie zawiera dzielników zera, to nie zawiera także nietrywialnych elementów nilpotentnych.
W pierścieniu nilpotentne są elementy Istotnie, jest oraz Pozostałe elementy są odwracalne, a więc nie są dzielnikami zera i w rezultacie nie są nilpotentami.
Pierścień zredukowany Pierścień, który nie zawiera niezerowych elementów nilpotentnych nazywany jest pierścieniem zredukowanym. Na przykład pierścień liczb rzeczywistych jest zredukowany.