jest izomorficzna z
Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.
Przykłady grupa wektorów na płaszczyźnie euklidesowej o współrzędnych rzeczywistych z dodawaniem jest iloczynem prostym grupy liczb rzeczywistych z dodawaniem przez samą siebie.
Iloczyn półprosty Iloczyn półprosty zewnętrzny Niech będą dane grupy i oraz homomorfizm grupy w grupę automorfizmów grupy
Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup i za pośrednictwem oznaczanym nazywa się grupę składająca się z elementów wraz z działaniem określonym wzorem
oraz odwrotnością daną przez
i elementem neutralnym
gdzie oraz są elementami neutralnymi.
Iloczyn półprosty wewnętrzny Niech będzie podgrupą normalną w Dopełnieniem normalnym podgrupy w nazywamy zbiór spełniający warunki oraz (równoważnie ).
Grupę nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup i co oznacza wtedy i tylko wtedy, gdy jest dopełnieniem normalnym
Jeżeli grupa jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup i to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym za pośrednictwem homomorfizmu określonego jako czyli sprzężenie przez Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup oraz przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.