Innym sposobem są teorie homologii, które wymagają bardziej skomplikowanego aparatu matematycznego, dają jednak narzędzia znacznie ułatwiające aspekt obliczeniowy.
Przykłady W rozpatrzmy pętlę zaczepioną w punkcie Pętla ta jest równoważna pętli stale równej Odpowiednią homotopią jest funkcja Ponieważ jest łukowo spójna, więc grupą podstawową przestrzeni jest grupa trywialna, czyli złożona jedynie z elementu neutralnego. Na okręgu (lub powierzchni bocznej walca) pętla jest całkowicie scharakteryzowana przez liczbę jej obiegów wokół tego okręgu, więc grupą podstawową wspomnianych przestrzeni jest nieskończona grupa cykliczna, czyli izomorficzna z grupą liczb całkowitych z dodawaniem. Ma miejsce izomorfizm W szczególności, grupą podstawową torusa jest Grupą podstawową bukietu dwóch okręgów jest grupa wolna o dwóch generatorach. Grupą podstawową płaszczyzny rzutowej jest
Łukowa spójność Jeżeli przestrzeń jest łukowo spójna, to dla dowolnych punktów grupy oraz są izomorficzne. Wówczas grupą podstawową przestrzeni nazywa się grupę izomorficzną z dla dowolnego i oznacza