Nie jest to jednak narzędzie niezawodne, bo zdarza się, że przestrzenie, które nie są homotopijnie równoważne, mają izomorficzne grupy podstawowe. Tak jest w przypadku właśnie wspomnianych sfer dla spośród których żadne dwie nie są homotopijnie równoważne, a mimo to wszystkie mają trywialne grupy podstawowe. Wynika to z niskiej wymiarowości grupy podstawowej – pętle są funkcjami określonymi na odcinku, który można pojmować jako jednowymiarowy, można się zatem spodziewać problemów z odróżnianiem przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Aby zatem odróżniać te przestrzenie, musimy przypisać im nieco bogatszą strukturę algebraiczną. Jednym ze sposobów są wyższe grupy homotopii, uogólniające w pewnym sensie grupę podstawową – zamiast określać funkcje na odcinku, możemy robić to na kwadracie, sześcianie czy ogólnie kostce n-wymiarowej Ta metoda co prawda pozwala odróżniać sfery wyższych wymiarów, niestety obliczanie wyższych grup homotopii jest znacznie trudniejszym zadaniem, nawet przy tak regularnych przestrzeniach jak sfery.