Komutator – wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Teoria grup Komutator dwóch elementów i należących do grupy to element

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy i komutują (czyli są przemienne, tzn. ). Podgrupa grupy generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

Tożsamości W tej sekcji wyrażenie oznacza sprzężony (przez ) element

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

UwagaPowyższa definicja sprzężenia przez używana jest przez badaczy teorii grup.