Komutator – wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Teoria grup Komutator dwóch elementów i należących do grupy to element

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy i komutują (czyli są przemienne, tzn. ). Podgrupa grupy generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

Tożsamości W tej sekcji wyrażenie oznacza sprzężony (przez ) element

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

UwagaPowyższa definicja sprzężenia przez używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie przez jako zwykle zapisuje się to jako

Teoria pierścieni Komutator dwóch elementów i pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy i są przemienne (komutują). W algebrze liniowej, jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

Tożsamości Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

Jeżeli jest ustalonym elementem pierścienia pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania danego wzorem Innymi słowy, odwzorowanie definiuje różniczkowanie w pierścieniu

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Campbella-Hausdorffa:

Przykład Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy który przekształca funkcję w jej pochodną oraz który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej przebiega jak następuje: ponieważ

Odjęcie tych równań stronami daje:

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez jest

czyli

Stąd wynik zastosowania obu operatorów i na funkcję zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacją Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako

Różniczkowania Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

Wówczas jest różniczkowaniem, a jest liniowe, np. oraz i homomorfizmem algebry Liego, np. ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

Komutator w fizyce Komutator jest często używany w fizyce kwantowej: W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona komutatorami, tzn. gdzie oraz stają się operatorami w przestrzeni Hilberta. Konsekwencją wprowadzenia takich reguł komutacyjnych jest zasada nieoznaczoności Heisenberga. W procedurze drugiej kwantyzacji (stosowanej dla układów wielu cząstek) wprowadzane są operatory kreacji i anihilacji cząstek, które dla bozonów spełniają reguły komutacji, a dla fermionów antykomutacji. W definicjach funkcji Greena stosowane są komutatory dla bozonów oraz antykomutatory dla fermionów.

Antykomutator Antykomutator lub jest definiowany wzorem [dostęp 2025-12-11].:

Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermiony). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, tzn.

Reguła ta wynika z zakazu Pauliego mówiącego, że dany stan kwantowy może być obsadzony tylko przez jedną cząstkę.

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

Zobacz też

antyprzemienność algebra różniczkowa pochodna Pincherlego nawias Poissona kanoniczna relacja komutacji mechanika kwantowa

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-11].

Kategoria:Teoria grup Kategoria:Działania dwuargumentowe Kategoria:Własności działań Kategoria:Mechanika kwantowa