jeśli spełnia jedną z nierówności lub to istnieje taki punkt należący do przedziału dla którego
Oba sformułowania są równoważne: funkcje w obu z nich różnią się jedynie o stałą
Dowody Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłości Niech Bez straty ogólności można założyć, że jest liczbą z przedziału otwartego .
Niech , .
Wówczas zbiory i są niepuste. Zbiór A posiada ograniczenie górne, którym jest więc – na mocy aksjomatu ciągłości – istnieje . Dla danych oraz oznaczmy .
Wykażemy, że Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów i spełnione są następujące ciągi implikacji:
czyli:
w innym przypadku: .
Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwe, aby
Analityczny z definicji Heinego ciągłości Niech będzie funkcją oraz niech będzie liczbą z przedziału otwartego Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.
Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi
jeśli to koniec dowodu,jeśli to jeśli to
Tak zdefiniowane ciągi mają następujące własności:
Z własności 1. 2. wynika, że ciągi jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy
Na podstawie ciągłości funkcji ciągi są zbieżne, mają tę samą granicę oraz
Jednocześnie z własności 3.