wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.
Stąd
Topologiczny Niech będzie funkcją oraz niech będzie liczbą z przedziału otwartego Przypuśćmy, że nie jest wartością funkcji Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział ), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie może nie być wartością funkcji.
Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera .
Przypisy
Bibliografia
Rozdział XXI. Elementy Topologii. § 1. Przestrzeń topologiczna. 1.10. Zbiór spójny, zbiory rozgraniczone, składowa zbioru.
Rozdział II. Przestrzenie Metryczne, odwzorowania ciągłe. § 10. Przestrzenie spójne. Tw. II.17.
Rozdział 4. Ciągłość. Ciągłość i spójność, Tw. 4.22.
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, Twierdzenie Darboux, kanał Khan Academy na YouTube, 13 lipca 2017 [dostęp 2024-06-23]. [dostęp 2023-08-26].
Darboux