W swojej karierze Suárez występował też w takich turniejach jak: Złoty Puchar CONCACAF 1993 (mistrzostwo), Puchar Konfederacji 1995 (3. miejsce), Złoty Puchar CONCACAF 1996 (mistrzostwo), Copa América 1997 (3. miejsce), Puchar Konfederacji 1997 (faza grupowa), Złoty Puchar CONCACAF 1998 (mistrzostwo), Copa América 1999 (3. miejsce), Puchar Konfederacji 1999 (mistrzostwo), Złoty Puchar CONCACAF 2000 (ćwierćfinał), Puchar Konfederacji 2001 (faza grupowa) i Copa América 2004 (ćwierćfinał).
Karierę reprezentacyjną Suárez zakończył 1 czerwca 2006 towarzyskim meczem z Holandią (1:2). Łącznie w drużynie narodowej wystąpił 178 razy i strzelił 6 goSwój setny mecz w kadrze Claudio rozegrał 4 lutego 1998, a Meksyk pokonał Trynidad i Tobago 4:2 w rozgrywkach o Złoty Puchar CONCACAF 1998.