Przy zastąpieniu funkcji przybliżoną sumą trygonometryczną
średni błąd kwadratowy
jest najmniejszy, jeżeli za współczynniki przyjmie się współczynniki Fouriera funkcji .
Przykład Powyższe twierdzenie orzeka, iż spośród wszystkich funkcji, przybliżających daną funkcję za pomocą skończonej kombinacji liniowej funkcji sinusoidalnych i kosinusoidalnych najmniejszy średni błąd kwadratowy uzyska się dla współczynników będących współczynnikami rozwinięcia danej funkcji w szereg Fouriera. Dla ilustracji pokazano tu przybliżenia funkcji (opisującej kat odchylania wahadła matematycznego od pionu) za pomocą dwóch funkcji o identycznych składowych harmonicznych, ale o różnych współczynnikach
(a) przybliżenie sumą częściową szeregu Fouriera funkcji , (b) przybliżenie funkcją , która jest rozwiązaniem przybliżenia równania nieliniowego ruchu wahadła za pomocą rozwinięcia w szereg Maclaurina członu nieliniowego tego równania:
gdzie: - amplituda drgań wahadła, , gdzie - okres drgań wahadła, słuszny dla dowolnych amplitud, - całka eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju
Z obliczeń średniego błędu kwadratowego otrzymano:
(a) dla :
(a) dla :