W przypadku, gdy jest domkniętym ideałem (obustronnym) w C*-algebrze dla każdego elementu istnieje taki ciąg elementów o następujących własnościach: widmo każdego elementu zawarte jest w przedziale
(gdy ma jedność, wystarczy zdefiniować używając ciągłego rachunku funkcyjnego, wzorem ).
Używając tego faktu dowodzi się, że Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.
Jeżeli jest domkniętym ideałem w C*-algebrze oraz oraz to Z drugiej strony, oraz jest domknięty, więc
Zamkniętość domkniętych ideałów na inwolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry przez domknięty ideał inwolucję wzorem: Tak zadana inwolucja w spełnia warunek (C*).
C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą być C*-algebry proste (C*-algebra jest prosta, gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny oraz ideał niewłaściwy ). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe gdzie jest pewną C*-algebrą oraz jest jej ideałem maksymalnym. Przykładem jest algebra Calkina, tj. C*-algebra gdzie jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, a oznacza ideał operatorów zwartych na Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np.