rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad Dodatkowo ma tylko dwie podprzestrzenie: oraz samo
Przestrzeń współrzędnych
Jest to prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej przestrzeń wszystkich ciągów -elementowych o wartościach z stanowi -wymiarową przestrzeń liniową nad nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną Element zapisuje się
gdzie każdy Działania na zdefiniowane są wzorami:
Najczęstsze przypadki obejmują za ciało liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych
Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.
Przestrzeń liniowa ma bazę kanoniczną:
gdzie oznacza element neutralny mnożenia w
Nieskończona przestrzeń współrzędnych Niech oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element jako