W 1760 roku został posłem na Sejm, później otrzymał starostwo krasnosielskie i stopień rotmistrza armii litewskiej.
W 1764 roku był członkiem konfederacji Wielkiego Księstwa LitewskiegoVolumina Legum, t. VII, Petersburg 1860, s. 60.. Na sejmie konwokacyjnym 1764 roku wyznaczony do Komisji Skarbowej Wielkiego Księstwa LitewskiegoVolumina Legum, t. VII, Petersburg 1860, s. 75.. 23 października 1767 wszedł w skład delegacji Sejmu, wyłonionej pod naciskiem posła rosyjskiego Nikołaja Repnina, powołanej w celu określenia ustroju RzeczypospolitejVolumina Legum t. VII, Petersburg 1860, s. 244-248..
Burzyński był w latach 1769–1773 (do śmierci) ambasadorem RP w Londynie. Stale cierpiał na brak gotówki, który pozwoliłby mu zatrudnić pomocników; szyfrantów i sekretarzy, którzy uczyniliby jego misję dyplomatyczną skuteczniejszą. W końcu zatrudnionym przezeń został jego sąsiad Franciszek Bukaty (1747–1797), który szybko nauczył się szyfru i języka angielskiego.
Ze względu na stan zdrowia od jesieni 1770 roku prosił Stanisława Augusta Poniatowskiego o zgodę na wyjazd z Londynu.