Wewnątrz każdego ciała liczbowego bada się odpowiadający mu pierścień liczb całkowitych algebraicznych. Liczba algebraiczna to taka liczba zespolona, która jest pierwiastkiem pewnego wielomianu niezerowego o współczynnikach wymiernych. Jeśli dodatkowo wielomian ten jest moniczny (współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 1) i ma współczynniki całkowite, liczbę tę nazywa się całkowitą algebraiczną.
Problem jednoznaczności rozkładu i ideały Jednym z centralnych zagadnień algebraicznej teorii liczb jest problem braku jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w niektórych pierścieniach liczb całkowitych algebraicznych. Na przykład w pierścieniu liczba 6 może zostać rozłożona na dwa nierównoważne sposoby:
Aby przezwyciężyć ten problem, w XIX wieku wprowadzono pojęcie ideału. W pierścieniach Dedekinda – które stanowią model dla pierścieni całkowitych w ciałach liczbowych – chociaż elementy mogą nie mieć jednoznacznego rozkładu na elementy pierwsze, to każdy niezerowy ideał właściwy można jednoznacznie zapisać jako iloczyn ideałów pierwszych. Miary odchylenia pierścienia od bycia dziedziną z jednoznacznością rozkładu dostarcza struktura zwana grupą klas ideałów.