Jeżeli jest morfizmem w to dla każdego należącego do złożenie należy do Oznaczmy przez opisane tu przyporządkowanie Powstaje w ten sposób funktor kowariantny z do Set, oznaczany jest to funktor główny kowariantny wyznaczony przez obiekt Nazwa funktor główny jest analogiczna do nazwy ideał główny w pierścieniu Boole’a podzbiorów jakiejś przestrzeni – to ideał generowany przez pojedynczy zbiór , czyli ideał wszystkich podzbiorów tego zbioru.. Bywa też zwany (zwłaszcza w kontekście algebry) i oznaczany lub lub lub
Jeśli jest ustalonym obiektem kategorii to analogicznie definiuje się funktor główny kontrawariantny przyporządkowujący każdemu morfizmowi przekształcenie przyporządkowujące morfizmom należącemu do złożenie należące do
Można też rozważać bifunktor główny z do Set, kontrawariantny w pierwszej zmiennej i kowariantny w drugiej.
Funktory wierne i pełne Załóżmy, że jest funktorem. Obcinając przyporządkowanie do zbioru otrzymamy funkcję z tego zbioru do Mówimy, że funktor jest wierny, gdy dla każdej pary obiektów kategorii indukowana funkcja jest iniekcją. Jest to pojęcie ważne z uwagi na to, że często funktor wierny nie jest iniektorem, tzn. warunek nie pociąga tego, że Np.