Tego samego dnia Lapunow postrzelił się w głowę i zmarł trzy dni później w wieku 61 lat.
Prace Lapunow miał swój wkład w kilka dziedzin, w tym w: teorię równań różniczkowych, teorię potencjału, teorię układów dynamicznych, teorię prawdopodobieństwa. Zajmował się szczególnie stabilnością punktów równowagi, dynamiką ruchu układów mechanicznych, modelami teoretycznymi stabilności w jednorodnych płynach zaburzonych, badaniami nad cząstkami poddanymi wpływowi grawitacji. W pracach z zakresu fizyki matematycznej zajmował się problemem granicznym równania różniczkowego Laplace’a. W zakresie teorii potencjału, w pracy z 1897 roku O kilku zagadnieniach związanych z problemem Dirichleta, opracował kilka ważnych aspektów tej teorii. Jego pracę na tym polu łączą bliskie związki z pracami Władimira Stiekłowa. Lapunow opracował wiele ważnych metod aproksymacji. Metody, które rozwinął w 1899 roku, pozwoliły na zdefiniowanie stabilności układu równań różniczkowych zwyczajnych. Stworzył nowoczesną teorię stabilności układów dynamicznych. W zakresie teorii prawdopodobieństwa uogólnił prace Pafnutija Czebyszewa i Andrieja Markowa, podał dowód centralnego twierdzenia granicznego przy warunkach ogólniejszych niż podali jego poprzednicy.