Wolny od obowiązków dydaktycznych mógł teraz skoncentrować się na swoich badaniach naukowych, w szczególności udało mu się dokończyć prace związane z problemem jaki Czebyszow zadał mu jeszcze wówczas gdy zaczynał swoją karierę naukową.
W 1908 roku wziął udział w czwartym Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Rzymie. Uczestniczył także w publikacji wybranych prac Leonharda Eulera (zredagował 18. i 19. tom).
Jak wielu innych matematyków Lapunow wolał pracować w samotności utrzymując kontakty zasadniczo tylko z kilkoma kolegami i bliskimi członkami rodziny. Zwykle pracował późną porą, cztery do pięciu godzin późnym wieczorem lub przez całą noc. Raz, dwa razy w roku odwiedzał teatr lub szedł na jakiś koncert. Miał liczne grono studentów. Był honorowym członkiem wielu uczelni, honorowym członkiem Akademii w Rzymie i członkiem korespondentem Francuskiej Akademia Nauk.
Ostatnie lata życia W końcu czerwca 1917 roku Lapunow wyjechał ze swoją żoną do domu swojego brata w Odessie. Żona Lapunowa chorowała na gruźlicę dlatego też Lapunowie podjęli decyzję o wyjeździe kierując się zaleceniami lekarza. Żona Lapunowa zmarła 31 października 1918 roku.