Dla przykładu, ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych o pierwiastek wielomianu
Jeśli jest rozszerzeniem ciała oraz , to
Rozszerzenie o pierwiastek danego wielomianu nie jest wyznaczone jednoznacznie w przypadku gdy wielomian jest rozkładalny. W przypadku gdy dany wielomian jest nierozkładalny, to rozszerzenia wyznacza się z dokładnością do izomorfizmu.
Ciało rozkładu wielomianu Mówimy, że ciało jest ciałem rozkładu wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian rozkłada się w pierścieniu na czynniki liniowe oraz
gdzie są wszystkimi pierwiastkami w ciele
Dla każdego wielomianu stopnia dodatniego istnieje jego ciało rozkładu. Dowolne dwa ciała rozkładu tego wielomianu są izomorficzne.
Rozszerzenie algebraiczne
Rozszerzenie ciała nazywamy algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element jest algebraiczny nad
Dla przykładu, każdy element ciała skończonego jest algebraiczny nad podciałem prostym, zawartym w tym ciele.
Dla rozszerzenia i następujące warunki są równoważne jest algebraiczny nad
Stopień rozszerzenia nazywa się stopniem elementu algebraicznego Stopień ten jest równy stopniowi wielomianu nierozkładalnego takiemu, że a także minimalnemu stopniowi niezerowego wielomianu takiego, że
Rozszerzenie rozdzielcze