191–198..
Dowód 1 Udowodnijmy najpierw następujący lemat.
Lemat Jeżeli oraz to .
Dowód lematu:
Przypuśćmy, że oraz zbiór jest równoliczny z Zatem możemy ustalić bijekcję
Naszym celem jest skonstruowanie bijekcji ze zbioru na Poniżej obraz zbioru przez funkcję jest oznaczany przez (tak więc ).
Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg zbiorów:
Łatwo zauważyć, że dla wszystkich Połóżmy i zdefiniujmy funkcję w następujący sposób:
Powyższa formuła poprawnie definiuje funkcję z w i naszym celem jest wykazanie, że jest ona bijekcją (z na ).
Pokażmy najpierw, że jest różnowartościowa. W tym celu załóżmy, że są elementami zbioru Dowodzimy, że rozważając 4 przypadki. (i) Jeśli to (ii) Jeśli to co wynika z różnowartościowości funkcji f. (iii) Przypuśćmy teraz, że ale Załóżmy nie wprost, że Zauważmy, że w aktualnym przypadku mamy oraz a więc Stąd dla pewnego Jeżeli teraz czyli to czyli w szczególności Jednak funkcja była bijekcją na zbiór zatem otrzymaliśmy sprzeczność.