Rozważmy teraz przypadek, gdy Wówczas a zatem dla pewnego mamy Ponieważ jest różnowartościowa, otrzymujemy a stąd Oczywiście jest to sprzeczne z założeniem, że czyli uzyskaliśmy sprzeczność i w tym przypadku. (iv) Jeśli ale to argumentacja identyczna z przedstawioną w (iii) dowodzi, że
A zatem z (i)-(iv) wynika, że funkcja jest różnowartościowa.
Ostatnim krokiem dowodu lematu jest pokazanie, że funkcja jest suriekcją, czyli że
Wiemy, że Mamy zatem:
Wykazaliśmy zatem prawdziwość lematu.
Dowód twierdzenia Aby udowodnić twierdzenie, przypuśćmy, że zbiór jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru oraz zbiór jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru Zatem możemy znaleźć funkcje różnowartościowe oraz Połóżmy oraz Wówczas zbiory spełniają założenia lematu, więc możemy wywnioskować, iż zbiory i są równoliczne. Ponieważ zbiory i są równoliczne (o czym świadczy np. funkcja ), otrzymujemy, że zbiory i są równoliczne.
Dowód 2 (Banach, Tarski) Poniżej rodzina wszystkich podzbiorów zbioru jest oznaczana przez
Definicja Niech będą dane zbiory Powiemy, że funkcja jest monotoniczna, jeśli dla każdych zbiorów takich że zachodzi
Lemat A (twierdzenie Knastera-Tarskiego o punkcie stałym) Niech będzie zbiorem oraz niech będzie funkcją monotoniczną.