Aby wykazać iniektywność należy wziąć dwa elementy i i pokazać, że (rozpatrywanie innych przypadków jest trywialne ze względu na iniektywność i ). Pamiętając, że mamy, iż Jednocześnie więc należą do rozłącznych podzbiorów, zatem nie mogą być równe. W związku z tym jest bijekcją pomiędzy zbiorami i a co za tym idzie, zbiory te są równoliczne.
Przykład zastosowania Twierdzenie Cantora-Bernsteina pozwala na proste uzasadnienie wielu faktów teorii mocy, co bez tego twierdzenia często pociągałoby konieczność przeprowadzania długich i skomplikowanych dowodów. Przykładowo łatwo jest wykazać, że dowolny przedział otwarty jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych (równoliczność tę ustala złożenie funkcji liniowej z tangensem). Z twierdzenia Cantora-Bernsteina natychmiastowo otrzymujemy, że przedział domknięty również ma moc continuum, bo przecież: gdzie
Przypisy
Cantora-Bernsteina-Schrödera