Wówczas odwzorowanie ma taki punkt stały (to znaczy istnieje że ).
Dowód lematu
Zdefiniujmy rodzinę zbiorów Twierdzimy, że suma
jest punktem stałym odwzorowania Aby się o tym przekonać, zauważmy, iż dla każdego zachodzi więc z monotoniczności wynika, że Zatem
a stąd
Korzystając kolejny raz z monotoniczności, dostajemy więc Wobec tego musi zawierać się w sumie rodziny czyli
Zachodzą więc obie inkluzje i więc jest punktem stałym odwzorowania
Lemat B Niech będą dane zbiory X, Y i funkcje Wówczas odwzorowanie dane wzorem
jest monotoniczne.
Dowód lematu
Niech Wówczas więc i Zatem:
Czyli z definicji funkcji
Dowód twierdzenia Niech X i Y spełniają założenia twierdzenia i niech oraz będą funkcjami różnowartościowymi. Zdefiniujmy odwzorowanie jak w lemacie B:
Wówczas na mocy lematu B jest to funkcja monotoniczna, a zatem z lematu A wynika istnienie zbioru takiego że co zachodzi gdy Czyli:
Ponieważ jest iniekcją, możemy zdefiniować funkcję w następujący sposób:
Funkcja jest suriekcją. Istotnie,