Drugie, o niedowodliwości niesprzeczności To twierdzenie jest konsekwencją poprzedniego. Głosi ono, że w ramach żadnego niesprzecznego systemu formalnego pierwszego rzędu zawierającego w sobie aksjomaty Peana nie da się środkami tego systemu dowieść jego niesprzeczności. Aby taki dowód przeprowadzić, niezbędny jest szerszy system, którego niesprzeczności w ramach niego samego również nie da się dowieść – i tak ad infinitum.
Zarys dowodu Gödel przyporządkował jednoznacznie każdemu predykatowi arytmetyki pewną liczbę. Ważną częścią dowodu twierdzenia jest sam fakt, że takie przyporządkowanie istnieje.
Każdej funkcji zdaniowej arytmetyki odpowiada więc pewna unikalna liczba. Oznaczmy to przyporządkowanie przez
Istnieją także specjalne funkcje liczbowe, które pozwalają obliczać wartość dla formuł złożonych. Przykładowo:
Istnieje w końcu specjalny operator który dla każdego zdania pozwala odpowiedzieć, czy zdanie to jest dowodliwe. Wyrażenie to samo w sobie jest zdaniem. – wtedy i tylko wtedy, kiedy istnieje dowód zdania
Każda formuła ma wobec tego jakiś numer. Można odwrócić przyporządkowanie i mówić o formule o numerze Przyporządkowanie nie musiało być surjekcją, dlatego nie wszystkie wartości są sensowne, ale nie bierzemy ich pod uwagę.