arytmetyzacji twierdzeń.
Można oznaczyć G0=Pk(k) i dodać to zdanie do aksjomatów systemu. Wtedy również będzie istniało zdanie G1 niezależne od poszerzonych aksjomatów. W ten sposób można dodać G2, G3..., a nawet Gω, Gω+1, Gω+2..., Gω2, Gω2+1..., Gω3, Gω4... i Gω².
Przypadki, dla których twierdzenie nie zachodzi Twierdzenie Gödla nie zachodzi dla słabych teorii, gdzie niemożliwe jest zdefiniowanie przekształcenia z predykatów w liczby (arytmetyzacja twierdzeń). Dla takich teorii możliwe jest skonstruowanie systemu formalnego zupełnego i niesprzecznego. Przykłady to klasyczny rachunek zdań i geometria euklidesowa.
Twierdzenie Gödla nie zachodzi dla różnych niestandardowych systemów formalnych. Stwierdzenie „istnieje dowód zdania teorii X” nie daje się wtedy zakodować jako zdanie tej teorii (wykracza poza nią).
Twierdzenia Gödla stosują się tylko do efektywnie generowanych (czyli rekurencyjnie przeliczalnych) teorii.