Wyjątek stanowią algebry centralne proste i określany w nich wyznacznik Dieudonné (o wartościach w abelianizacji czyli grupie ).
Własności Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, operacja odwracania macierzy jest inwolucją:
Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną, (kolejność macierzy jest istotna, gdyż mnożenie macierzy nie jest przemienne!). Jeżeli macierz jest odwracalna, to także jest odwracalna,
Uwagi Macierz jednostkowa jest odwracalna oraz (wynika wprost z definicji). Macierz zerowa jest nieodwracalna, ogólnie – każda macierz osobliwa jest nieodwracalna. Suma macierzy odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną, niech będzie odwracalna, wówczas Dla nieosobliwej macierzy zachodzi równość
Przykłady Macierz
ma wyznacznik równy którego odwrotność w pierścieniu również wynosi Zatem macierz ma macierz odwrotną w
Rzeczywiście,
a więc
Macierz gdzie jest pierścieniem reszt modulo 8
ma wyznacznik równy 3, który w pierścieniu jest odwracalny (jego odwrotność też wynosi ).
Macierz jest więc odwracalna, a macierzą odwrotną do niej jest
Wyznaczanie Metoda dopełnień algebraicznych
Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy obliczamy następująco:
gdzie jest macierzą dołączoną do macierzy (czyli transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych).