Rzeczywiście, gdyby bowiem istniał homeomorfizm (możemy założyć, że ), a było naturalnym odwzorowaniem włożenia, to złożenie byłoby homeomorfizmem, a więc w szczególności przeprowadzałoby całą przestrzeń na podzbiór otwarty zawarty w Jedynym otwartym podzbiorem jest zbiór pusty, a zatem z otrzymanej sprzeczności wnosimy, że musi być Nie istnieją odwzorowania ciągłe wzajemnie jednoznaczne przestrzeni euklidesowej na przestrzenie euklidesowe różniące się od niej wymiarem.
Uwagi Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe jeśli przestrzenie euklidesowe zamienimy na rozmaitości. Mianowicie, jeśli i są -wymiarowymi rozmaitościami bez brzegu, a odwzorowanie jest ciągłe i lokalnie różnowartościowe, to jest ono również otwarte. W pewnych przestrzeniach twierdzenie Brouwera przestaje być prawdziwe. Najprostszym przykładem może być przestrzeń Hilberta oraz odwzorowanie takie że Jest ono ciągłe i różnowartościowe, a przeprowadza przestrzeń na zbiór o pustym wnętrzu.
Zobacz też dywan Sierpińskiego rozmaitość topologiczna twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
Przypisy
Literatura
Brouwera o zachowaniu otwartości