Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości – twierdzenie topologii sformułowane i udowodnione w 1912 przez Jana BrouweraBrouwer L. Zur Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 72 (1912), s. 55–56.. Mówi ono, że podzbiór przestrzeni euklidesowej homeomorficzny z podzbiorem otwartym tej przestrzeni jest jej podzbiorem otwartym.
Brouwer użył w dowodzie wprowadzonych przez siebie metod topologii algebraicznej, a w szczególności twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.
Twierdzenie to bywa również nazywane twierdzeniem o niezmienniczości obszaru (ang. Invariance of Domain).
Inne sformułowanie Twierdzenie to można również wypowiedzieć w następujący sposób: Jeżeli funkcja jest ciągłą injekcją zbioru otwartego na zbiór to zbiór jest otwarty w
Wnioski Przestrzenie euklidesowe różniące się wymiarami nie są homeomorficzne. Rzeczywiście, gdyby bowiem istniał homeomorfizm (możemy założyć, że ), a było naturalnym odwzorowaniem włożenia, to złożenie byłoby homeomorfizmem, a więc w szczególności przeprowadzałoby całą przestrzeń na podzbiór otwarty zawarty w Jedynym otwartym podzbiorem jest zbiór pusty, a zatem z otrzymanej sprzeczności wnosimy, że musi być Nie istnieją odwzorowania ciągłe wzajemnie jednoznaczne przestrzeni euklidesowej na przestrzenie euklidesowe różniące się od niej wymiarem.
Uwagi Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe jeśli przestrzenie euklidesowe zamienimy na rozmaitości. Mianowicie, jeśli i są -wymiarowymi rozmaitościami bez brzegu, a odwzorowanie jest ciągłe i lokalnie różnowartościowe, to jest ono również otwarte. W pewnych przestrzeniach twierdzenie Brouwera przestaje być prawdziwe. Najprostszym przykładem może być przestrzeń Hilberta oraz odwzorowanie takie że Jest ono ciągłe i różnowartościowe, a przeprowadza przestrzeń na zbiór o pustym wnętrzu.
Zobacz też dywan Sierpińskiego rozmaitość topologiczna twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
Przypisy
Literatura
Brouwera o zachowaniu otwartości