Od urodzenia nosiła tytuł Jej Królewskiej Wysokości Księżniczki Anny z Edynburga.
Została ochrzczona w obrządku kościoła anglikańskiego w Pokoju Muzycznym Pałacu Buckingham 21 października 1950. Otrzymała imiona: Anna (została trzecią brytyjską księżniczką urodzoną po 1714, której nadano to imię, i zaledwie drugą, dla której było to imię pierwsze), Elżbieta (na cześć matki i babki ze strony matki), Alicja (na cześć babki ze strony ojca), Ludwika (imię popularne w rodzinie królewskiej). Ceremonii przewodniczył arcybiskup Yorku, Cyril Garbett. Rodzicami chrzestnymi Anny zostali: 1. hrabia Mountbatten (wuj ojca), księżna Hohenlohe-Langenburg (siostra ojca), Andrew Elphinstone (kuzyn matki) i hrabina Athlone (krewna matki). Sama jest matką chrzestną przynajmniej siedmiu osób.
Zgodnie z ówczesną tradycją panującą na dworze królewskim, początkowe etapy edukacji księżniczki obejmowały domowe lekcje, które prowadziła guwernantka Catherina Peebles. Była śmiałym i rezolutnym, ale też aroganckim i szybko irytującym się dzieckiem, które umiało przeciwstawić się ojcu (którego była ulubienicą) i wykazywało niezależność w kontaktach ze starszym bratem. W dzieciństwie pobierała lekcje muzyki i tańca. Od 1959 do 1963 należała do Girl Guides.