Innymi słowy, równanie ma rozwiązanie dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest wartością własną operatora
Oznaczając gdzie to operator identycznościowy na powyższe jest równoważne temu, że albo operator jest suriektywny, albo operator nie jest różnowartościowy.
Dowód Przypadek, gdy nie jest wartością własną operatora W tym przypadku istnieje taka liczba że operator jest ograniczony z dołu przez tj.
Rzeczywiście, ze względu na dodatnią jednorodność normy wystarczy wykazać powyższe stwierdzenie dla wektorów o normie 1. Gdyby tak nie było, istniałby ciąg wektorów jednostkowych w że ciąg jest zbieżny do zera. Ponieważ infimum norm elementów jest dodatnie. Ponieważ operator jest zwarty, ciąg ma podciąg zbieżny do pewnego niezerowego elementu Z uwagi na to, że ciąg jest zbieżny do zera, ciąg jest również zbieżny do zera, a więc z ciągłości, co przeczy temu, że nie jest wartością własną
Ponieważ operator jest ograniczony z dołu, jest on izomorfizmem na swój obraz. By udowodnić, że dla każdego istnieje takie że należy uzasadnić, że cała przestrzeń jest obrazem operatora Gdyby tak nie było, to dla każdej liczby naturalnej podprzestrzeń będąca obrazem operatora byłaby właściwa (i domknięta).