Z lematu Riesza wynikałoby istnienie takich wektorów w o normie 1, że odległość od wynosi co najmniej 1/2.
Niech będą liczbami naturalnymi. Wówczas jak i należą do tj.
Ponieważ odległość między od wynosi co najmniej 1/2 zachodzi oszacowanie
które przeczy zwartości gdyż ciąg nie ma podciągu zbieżnego.
Przypadek, gdy jest wartością własną operatora implikuje, że operator nie jest różnowartościowy ponieważ (niezerowa) wartość własna odpowiadająca należy do jego jądra. W tym wypadku obrazem operatora nie może być cała przestrzeń (tj. operator ten nie jest suriektywny). Istotnie, z twierdzenia Schaudera o operatorze sprzężonym wynika, że operator jest również zwarty. Ponadto Gdyby był suriektywny, operator byłby różnowartościowy, tj. w szczególności nie byłaby jego wartością własną. Z udowodnionej wyżej implikacji wynikałoby, że operator byłby w tym wypadku suriektywny. Oznaczałoby to, że operator jest różnowartościowy.