W 1930 Gaworski podzielił III-IV lokatę w mistrzostwach Poznańskiego Klubu Szachistów (wygrał Antoni Wojciechowski przed Adamem Mięsowiczem). Identyczne miejsce zajął rok później w mistrzostwach miasta. 15 marca 1931 miał też okazję wystąpić w poznańskiej symultanie Akiby Rubinsteina i był jednym z ośmiu szachistów, którzy zanotowali zwycięstwo nad słynnym rywalem. W tym okresie Gaworski został także działaczem szachowym, pełnił od 1931 obowiązki bibliotekarza Poznańskiego Klubu Szachistów, a w latach 1934-1938 był jego wiceprezesem.
W 1933 uczestniczył w trójmeczu Poznań-Gniezno-Inowrocław z okazji 10-lecia Gnieźnieńskiego Klubu Szachistów, przyczyniając się do triumfu poznańskiej ekipy. W 1934 odniósł duży sukces, wygrywając mistrzostwa Poznania z dorobkiem siedmiu punktów w dziewięciu spotkaniach. W tymże roku był w składzie reprezentacji Poznania na drugich drużynowych mistrzostwach Polski, ale w katowickim turnieju szachiści poznańscy nie odegrali większej roli, remisując jedynie mecz z Wilnem. Występujący na trzeciej szachownicy Gaworski pokonał Jakuba Kolskiego z Łodzi, uległ natomiast Stefanowi Popielowi (Lwów), Leonowi Kremerowi (Warszawa) i Kazimierzowi Platerowi (Wilno).