W szczególności jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy Wartości są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez
Rozkład na czynniki niezmiennicze Dowolna skończenie generowana grupa przemienna może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci
gdzie dzieli które dzieli i tak dalej, aż do Znowu, liczby są jednoznacznie wyznaczone przez (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi, tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba jest równa randze grupy abelowej.
Równoważność Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że jest izomorficzna z iloczynem prostym przez wtedy i tylko wtedy, gdy oraz są względnie pierwsze i
Wnioski Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną Ranga jest określona jako ranga beztorsyjnej części tzn.