Twierdzenia Sylowa – trzy twierdzenia teorii grup, autorstwa Petera Sylowa; niekiedy formułowane także jako pojedyncze twierdzenie Sylowa.
Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy); a zarazem także uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).
Definicje
Niech będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną (tzn. największy wspólny dzielnik ). Niech będzie grupą rzędu , gdzie jest pewną nieujemną liczbą całkowitą.
Definicja. Dowolną podgrupę rzędu grupy , gdzie , nazywa się -podgrupą tej grupy.
Definicja. Podgrupy rzędu grupy , nazywane są -podgrupami Sylowa.
Twierdzenia Sylowa
Pierwsze twierdzenie Sylowa W grupie istnieje (co najmniej jedna) -podgrupa Sylowa.
Drugie twierdzenie Sylowa Wszystkie -podgrupy Sylowa grupy są sprzężone, tzn. dla dowolnych -podgrup Sylowa grupy istnieje taki automorfizm wewnętrzny tej grupy (), że .
Trzecie twierdzenie Sylowa Liczba wszystkich -podgrup Sylowa grupy przystaje do jedynki modulo , tzn. (co oznacza także po prostu, że jest dzielnikiem dla : ).
Wnioski Uwaga.