Twierdzenia Sylowa – trzy twierdzenia teorii grup, autorstwa Petera Sylowa; niekiedy formułowane także jako pojedyncze twierdzenie Sylowa.
Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy); a zarazem także uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).
Definicje
Niech będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną (tzn. największy wspólny dzielnik ). Niech będzie grupą rzędu , gdzie jest pewną nieujemną liczbą całkowitą.
Definicja. Dowolną podgrupę rzędu grupy , gdzie , nazywa się -podgrupą tej grupy.
Definicja. Podgrupy rzędu grupy , nazywane są -podgrupami Sylowa.
Twierdzenia Sylowa
Pierwsze twierdzenie Sylowa W grupie istnieje (co najmniej jedna) -podgrupa Sylowa.
Drugie twierdzenie Sylowa Wszystkie -podgrupy Sylowa grupy są sprzężone, tzn. dla dowolnych -podgrup Sylowa grupy istnieje taki automorfizm wewnętrzny tej grupy (), że .
Trzecie twierdzenie Sylowa Liczba wszystkich -podgrup Sylowa grupy przystaje do jedynki modulo , tzn. (co oznacza także po prostu, że jest dzielnikiem dla : ).
Wnioski Uwaga. W poniższych rozważaniach, symbol ma oznaczać (tak jak i powyżej) liczbę wszystkich -podgrup Sylowa dla pewnej danej grupy.
Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że -podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania) -podgrupą, a jej indeks równy nie jest podzielny przez innymi słowy Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności) -podgrupy SylowaPrzykładem grupy, która ma podgrupy normalne niebędące podgrupami Sylowa, jest np. grupa symetryczna . Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli jest -podgrupą Sylowa w zaś jest -podgrupą normalną w to istnieje taki element dla którego jest podgrupą normalną w
Jeżeli jest dzielnikiem rzędu grupy to w grupie tej istnieje element rzędu (tzw. twierdzenie Cauchy’ego); ponadto dzieli wtedy Jeżeli każdy element ma rząd postaci to jest -grupą. Jeśli oraz gdzie są pewnymi liczbami pierwszymi, to w istnieje podgrupa normalna rzędu jeżeli nie dzieli ponadto to grupa jest cykliczna. W szczególności jeśli nie dzieli oraz nie dzieli to jedyną grupą rzędu jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach i
Przykłady Niech będzie grupą rzędu Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa zawiera -podgrupę rzędu (przynajmniej jedną), a ponadto oraz skąd wynika, że i normalność Podobnie oraz skąd -podgrupa Sylowa rzędu grupy również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu .
Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna oraz grupa symetryczna
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Dowody
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-08-10]. Sylow theorems , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].
Sylowa Kategoria:Podgrupy