Jeżeli to jest podgrupą normalną w (istnieją wyłącznie dwie warstwy lewostronne, jak i prawostronne: izomorficzne z oraz z – dopełnieniem stąd co oznacza, że jest normalna). Ogólniej, podgrupa taka, że zawiera podgrupę normalną w indeksu dzielącego nazywaną rdzeniem normalnym (ang. normal core). W szczególności, jeżeli jest najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą rząd to każda podgrupa o indeksie jest normalna.
Struktura kraty w rodzinie podgrup normalnych
Podgrupy normalne w tworzą kratę ze względu na zawieranie zbiorów o elemencie najmniejszym i największym Dla danych dwóch podgrup normalnych ich infimum określone jest jako ich przekrój (zawsze jest podgrupą):
a supremum dane jest jako grupa generowana przez te podgrupy (również zawsze jest podgrupą):
w przypadku grup przemiennych jest równe iloczynowi kompleksowemu dlatego przyjmuje się wtedy zwykle po prostu
Związek z homomorfizmami Podgrupy normalne są ważne ze względu na fakt, iż jeżeli jest normalna w to można skonstruować z niej grupę ilorazową mnożenie na warstwach określone jest wzorem
Niech oznacza element neutralny grupy.