Istnieje naturalny homomorfizm dany wzorem Obraz składa się wyłącznie z elementu neutralnego warstwy
W ogólności homomorfizm grup przeprowadza podgrupy na podgrupy również przeciwobraz dowolnej podgrupy w jest podgrupą w Przeciwobraz podgrupy trywialnej w nazywa się jądrem homomorfizmu i oznacza symbolem Okazuje się, że jądro jest zawsze podgrupą normalną, a obraz jest zawsze izomorficzny z (pierwsze twierdzenie o izomorfizmie). Rzeczywiście, odpowiedniość ta jest bijekcją między zbiorem wszystkich grup ilorazowych w a zbiorem wszystkich obrazów homomorficznych (co do izomorfizmu). Jądrem odwzorowania ilorazowego, jest samo a więc podgrupy normalne są dokładnie jądrami homomorfizmów o dziedzinie
Przykłady W dowolnej grupie przemiennej każda jej podgrupa jest normalna. Grupy w których każda podgrupa jest normalna nazywane są grupami Hamiltona, istnieją nieprzemienne grupy tego rodzaju. Podgrupa obrotów jest normalna w grupie izometrii wielokąta foremnego gdzie jest obrotem, – dowolną symetrią osiową, – liczbą wierzchołków wielokąta (podgrupa ta jest nawet charakterystyczna). Podgrupa alternująca grupy symetrycznej jest w