Zatem suma dwóch kwadratów nieparzystych liczb naturalnych nigdy nie jest kwadratem.
Niech będą liczbami naturalnymi, spełniającymi równanie:
Zatem co najmniej jedna z liczb jest parzysta. Przy założeniu, że są względnie pierwsze, jedna z liczb powiedzmy jest nieparzysta, a jest parzysta. Zatem jest nieparzysta i względnie pierwsza zarówno z liczbą jak i z liczbą
Każdy wspólny dzielnik liczb naturalnych oraz jest też dzielnikiem ich sumy, równej oraz ich różnicy, równej jest więc równy 1, a liczby oraz są względnie pierwsze.
Równanie ma dokładnie te same rozwiązania co równanie:
Ponieważ liczby oraz są względnie pierwsze, to są pełnymi kwadratami pewnych liczb naturalnych oraz
skąd:
Dla każdego pierwotnego rozwiązania równania istnieją liczby naturalne oraz takie że rozwiązanie wyraża się poprzez oraz jak wyżej. Aby otrzymać rozwiązanie pierwotne, należy wybrać liczby oraz o różnej parzystości i względnie pierwsze. Ostatnie trzy równości posłużą wtedy za definicję rozwiązania.
Wariacja W poprzednim fragmencie, i wciąż uznając jego założenia, zamiast równania , rozpatrzmy równanie