Każdy wspólny dzielnik nieparzystych liczb oraz jest też wspólnym dzielnikiem ich sumy, równej oraz różnicy, równej czyli jest równy 1 lub 2 (mówimy tylko o dodatnich liczbach całkowitych; w dalszym ciągu obowiązuje założenie z poprzedniego fragmentu o względnej pierwszości liczb a więc i liczb ). Ale 2 nie jest podzielnikiem nieparzystych liczb oraz Zatem są one względem pierwsze; więc są odpowiednio kwadratami pewnych nieparzystych, dodatnich liczb całkowitych czyli:
Wykazano tu, że dla każdego rozwiązania pierwotnego istnieją nieparzyste dodatnie liczby całkowite oraz takie, że rozwiązanie określone jest przez powyższe trzy równości. Tak zadane przez nieparzyste oraz rozwiązanie jest pierwotne wtedy i tylko wtedy, gdy są względnie pierwsze.
Otrzymaliśmy nową parametryzację pierwotnych trójek pitagorejskich, nieco różną od poprzedniej.
Ogólnie, gdy liczby są tej samej parzystości, to powyższa trójka równości definiuje pewną trójkę pitagorejską, niekoniecznie pierwotną. Nie otrzyma się w ten sposób trójki pitagorejskiej (6, 8, 10) i wielu innych.
Wariacja II Na podstawie metody przyrostów kwadratów liczb parzystych i nieparzystych można wyprowadzić zależność: