Założenie jednego z tych zdań (lub ich kombinacji) jako dodatkowej przesłanki może pomóc matematykowi w wykazaniu, że jakieś stwierdzenie nie jest sprzeczne z aksjomatami ZFC.

Inne teorie Warto zauważyć, że ZFC nie jest jedyną możliwą formalizacją teorii mnogości. Istnieje szereg pokrewnych systemów, ale po prostu nie zyskały one tak wielkiej popularności jak ZFC. Ponadto rozważane też są aksjomatyzacje teorii mnogości całkowicie odmienne od ZFC. Najbardziej znanymi przykładami są układ nazywany New Foundations (NF), zapoczątkowany przez amerykańskiego logika Willard Van Orman Quine’a, oraz jego modyfikacja NFUHolmes, M.R.: Elementary Set Theory with a Universal Set, „Cahiers du Centre de logique”, 10, Academia, Louvain-la-Neuve (Belgium), 1998. ., układ ZFA, który jest otrzymany z ZFC przez zastąpienie aksjomatu regularności przez jego silne zaprzeczenieAczel, Peter: Non-well-founded sets. „CSLI Lecture Notes”, 14. Stanford University, Center for the Study of Language and Information, Stanford, CA, 1988. ..

Układy te są jednak traktowane bardziej jako ciekawostki niż główne narzędzie dla matematyków.