Wówczas dla każdych nieskończonych liczb kardynalnych mamy
jeśli oraz jeśli oraz jeśli
Ponadto, jeśli jest liczbą singularną to (a) jeśli dla pewnej liczby kardynalnej mamy iż to (b) jeśli założenie punktu (a) nie jest spełnione, to Warto zauważyć, że GCH jest niezależne od ZFC (czyli nie można tego zdania udowodnić, ale nie można też udowodnić jego zaprzeczenia). Łatwo można się przekonać, że GCH implikuje SCH. Ciekawym wynikiem odkrytym niedawno jest, że PFA również implikuje SCH. Naruszenia SCH związane są z dużymi liczbami kardynalnymi.
Przykłady wyników zaawansowanych Rozwijając metodę forsingu, w 1970 roku William EastonEaston, William B.: Powers of regular cardinals. „Ann. Math. Logic” 1 (1970), s. 139–178. udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że dla wszystkich regularnych Wówczas (przy założeniu, że ZFC jest niesprzeczne) jest niesprzecznym z ZFC, że dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych Jeśli jest liczbą mierzalną oraz dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej to również Jeśli zbiór jest stacjonarny w to Jeśli oraz zbiór jest stacjonarny w to W latach 90. XX wieku Saharon SzelachShelah, Saharon: Cardinal arithmetic.