Działania nieskończone Niech będzie rodziną indeksowaną liczb kardynalnych. Określamy sumę oraz produkt
Przykłady wyników klasycznych Dla każdych niezerowych liczb kardynalnych mamy: Jeśli to Jeśli to oraz Jeśli to oraz jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów Jeśli oraz jest nieskończona, to oraz i Jeśli są nieskończone, to (twierdzenie Hausdorffa). Jeśli jest nieskończone, to oraz
Przypuśćmy, że są rodzinami niezerowych liczb kardynalnych, Jeśli więc to Ostatnia równość zachodzi w szczególności gdy dla różnych Jeśli dla wszystkich to (twierdzenie Königa).
GCH i SCH Uogólniona hipoteza continuum (GCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej liczby kardynalnej zachodzi . Przy założeniu GCH arytmetyka kardynalna bardzo się upraszcza: Załóżmy GCH. Wówczas dla każdych liczb kardynalnych oraz mamy
jeśli jeśli jeśli oraz jeśli jeśli jeśli
Hipoteza liczb singularnych (ang. singular cardinal hypothesis, SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej jeśli to . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję
Załóżmy SCH.